こんどこそ!わかる数学 (岩波科学ライブラリー) [自然科学]
法学部出身で、数学者になった著者の、中学3年の時うけたかった授業。それを毎日中学生新聞土曜版で連載したのに、加筆修正したもの。
著者は中学のとき数学がきらいだったらしい。しかし、論理的に筋道をたてて考える。優先順位を決める、わかりやすく説明する。こういった力は数学がつけてくれる。数学はやっておいて損はない、ハッピーになれるといっていた。
１数学の国語辞典
定義を明確にすることが数学の出発点。
２定義からはじめよう
定義を読んで、その定義の意味を理解するのは難しい。だかっら例題をとく。
分数の定義をしていた。
３数とは
小数とはなにか？
どんな小数でも分数であらわせるか？
分数で表せるような小数にはどんな小数があるか？＝分数を小数に直すとどんな形になるか
これらを解いて行って、分数を計算すると、有限小数か循環小数になるを導く
４こんな掛け算はできる
0.333…×0.777…とか、これらは循環小数だから分数に直せる。
ヒントは0.111…×3=0.333… だから1/9
これでいくと0.999…は9/9=１、こっちはとりあえずそれでいいことになっていた。
0.9898…は0.0101…の98倍、
0.0101…は0.01よりちょっと大きいから、1/100から分母を少し少なくして1/99にすると電卓で計算すると0.0101…とわかる。というわけで1/99＝0.0101…
周期がｎで繰り返し部分の数を自然数で表したものがｍになるという循環小数は
ｍ/１０＾ｎ－１となる。
有理数の表し方の式、整数と有限小数、循環小数
それを1/13で検証。
５背理法
有限の回数で循環するかしないかは、数学的には厳密に区別されるが実際には使えない。証明できない。
だから、無理数は見た目で証明できない。
そこで背理法を使う。√6が無理数でないとして√6＝m/nとしてみて矛盾を探す
定理 自然数ｎが平方数でない限り、√ｎは無理数になる。
さまざまな問題を、反例と背理法で解く。
６関係をつかむ
関数のいいたいことは関係を表すこと。
関係の仕方の式は人間が考える。
100年後に平均気温が5.8度あがる。の式を考える。
そして、そうならないとしたら、式がまちがっているか、前提がくずれたということ。
７簡単な関係を式にする
比例＝ｘが一単位増えるとｙがどうなるかの関係
関係がわかると、直接測定できないものを計算できる。地球の公転周期の長さとか
加速度や抵抗の式もそう。
８一次関数
y=ax 比例＝ｘが一単位増えるとｙがａ増えることを表す。
y=ax+b 一次関数でもこの増え方の部分は同じ、しかし切片がある。
９グラフで表す
表をつくりグラフにしてみる。
y=axならｘが一単位増えるとｙがａ増える。ということで、線は直線になる。
y=ax+bなら上のグラフを平行に移動したものになる
ａが変化すると傾きが変わる。ａ＞０、ａ＝０、ａ＜０で傾きに特徴がある。
１０逆関数
入力→箱→出力。
関数は箱のようなもの。
出力から入力をもとめるのが逆関数。
実は一般的に問題をとくとき使っていることが多い、ある現象からなにがおきているか追及するなどは逆関数の考え。
aが０のとき(y=b)逆関数はそんざいしない。またy=x^2も解がひとつでないので逆関数は存在しない。
グラフをかいてみるとわかるが、y=ax+bの逆関数は、y=xを軸として対象の位置になる。
１１牛乳パックの秘密
実は牛乳パックの容積をもとめると1000mlにならない。
このことと、周の長さが一定の場合に、角が増えると面積はどうなるかの問題を結びつけて、牛乳パックに1000mlはいっているわけを解いていた。
１２迷ったら表で乗り越える
じゃんけんであいこになる確率は2人と3人ではどっちが高い？
直観にたよらずきちんと場合わけして計算すると変わらないとわかる。
4人では？
全部の表を書くのが困難でも、一つの場合をかけば、あとはあてはることが多いので、これで何通りのうち何通りをだして求める。
１３ラッキーを確率ではかる
年賀状が2枚あたった夫婦の例から、どのくらいのラッキーか計算する。
この場合、じゃんけんやさいころと違って、1枚目があたる確率と2枚目があたる確率の間には関係があるので、実は高校の数学が必要になるそうな。
１４ニセ定理を見破れ！１
いくつかの例を当てはめる→チェックポイント１
同じことを別の言い方に言い換える→チェックポイント２
言葉の説明を式に置き換えて見通しを良くする→チェックポイント３
偶数の約数をもつ数は、必ず偶数になる
チェックポイント１・・・１０とか６とかみんな偶数だな。
チェックポイント２・・・偶数を約数にもつということは偶数の倍数だ。
チェックポイント３・・・偶数＝2a、偶数の倍数＝2ab
１５ニセ定理を見破れ！２
四角形の定義を集合で説明。
4辺の長さが等しい四角形は正方形であるは間違い。台形があるから
みたいなの解いていた。
著者は中学のとき数学がきらいだったらしい。しかし、論理的に筋道をたてて考える。優先順位を決める、わかりやすく説明する。こういった力は数学がつけてくれる。数学はやっておいて損はない、ハッピーになれるといっていた。
１数学の国語辞典
定義を明確にすることが数学の出発点。
２定義からはじめよう
定義を読んで、その定義の意味を理解するのは難しい。だかっら例題をとく。
分数の定義をしていた。
３数とは
小数とはなにか？
どんな小数でも分数であらわせるか？
分数で表せるような小数にはどんな小数があるか？＝分数を小数に直すとどんな形になるか
これらを解いて行って、分数を計算すると、有限小数か循環小数になるを導く
４こんな掛け算はできる
0.333…×0.777…とか、これらは循環小数だから分数に直せる。
ヒントは0.111…×3=0.333… だから1/9
これでいくと0.999…は9/9=１、こっちはとりあえずそれでいいことになっていた。
0.9898…は0.0101…の98倍、
0.0101…は0.01よりちょっと大きいから、1/100から分母を少し少なくして1/99にすると電卓で計算すると0.0101…とわかる。というわけで1/99＝0.0101…
周期がｎで繰り返し部分の数を自然数で表したものがｍになるという循環小数は
ｍ/１０＾ｎ－１となる。
有理数の表し方の式、整数と有限小数、循環小数
それを1/13で検証。
５背理法
有限の回数で循環するかしないかは、数学的には厳密に区別されるが実際には使えない。証明できない。
だから、無理数は見た目で証明できない。
そこで背理法を使う。√6が無理数でないとして√6＝m/nとしてみて矛盾を探す
定理 自然数ｎが平方数でない限り、√ｎは無理数になる。
さまざまな問題を、反例と背理法で解く。
６関係をつかむ
関数のいいたいことは関係を表すこと。
関係の仕方の式は人間が考える。
100年後に平均気温が5.8度あがる。の式を考える。
そして、そうならないとしたら、式がまちがっているか、前提がくずれたということ。
７簡単な関係を式にする
比例＝ｘが一単位増えるとｙがどうなるかの関係
関係がわかると、直接測定できないものを計算できる。地球の公転周期の長さとか
加速度や抵抗の式もそう。
８一次関数
y=ax 比例＝ｘが一単位増えるとｙがａ増えることを表す。
y=ax+b 一次関数でもこの増え方の部分は同じ、しかし切片がある。
９グラフで表す
表をつくりグラフにしてみる。
y=axならｘが一単位増えるとｙがａ増える。ということで、線は直線になる。
y=ax+bなら上のグラフを平行に移動したものになる
ａが変化すると傾きが変わる。ａ＞０、ａ＝０、ａ＜０で傾きに特徴がある。
１０逆関数
入力→箱→出力。
関数は箱のようなもの。
出力から入力をもとめるのが逆関数。
実は一般的に問題をとくとき使っていることが多い、ある現象からなにがおきているか追及するなどは逆関数の考え。
aが０のとき(y=b)逆関数はそんざいしない。またy=x^2も解がひとつでないので逆関数は存在しない。
グラフをかいてみるとわかるが、y=ax+bの逆関数は、y=xを軸として対象の位置になる。
１１牛乳パックの秘密
実は牛乳パックの容積をもとめると1000mlにならない。
このことと、周の長さが一定の場合に、角が増えると面積はどうなるかの問題を結びつけて、牛乳パックに1000mlはいっているわけを解いていた。
１２迷ったら表で乗り越える
じゃんけんであいこになる確率は2人と3人ではどっちが高い？
直観にたよらずきちんと場合わけして計算すると変わらないとわかる。
4人では？
全部の表を書くのが困難でも、一つの場合をかけば、あとはあてはることが多いので、これで何通りのうち何通りをだして求める。
１３ラッキーを確率ではかる
年賀状が2枚あたった夫婦の例から、どのくらいのラッキーか計算する。
この場合、じゃんけんやさいころと違って、1枚目があたる確率と2枚目があたる確率の間には関係があるので、実は高校の数学が必要になるそうな。
１４ニセ定理を見破れ！１
いくつかの例を当てはめる→チェックポイント１
同じことを別の言い方に言い換える→チェックポイント２
言葉の説明を式に置き換えて見通しを良くする→チェックポイント３
偶数の約数をもつ数は、必ず偶数になる
チェックポイント１・・・１０とか６とかみんな偶数だな。
チェックポイント２・・・偶数を約数にもつということは偶数の倍数だ。
チェックポイント３・・・偶数＝2a、偶数の倍数＝2ab
１５ニセ定理を見破れ！２
四角形の定義を集合で説明。
4辺の長さが等しい四角形は正方形であるは間違い。台形があるから
みたいなの解いていた。
- 作者: 新井 紀子
- 出版社/メーカー: 岩波書店
- 発売日: 2007/02/06
- メディア: 単行本
2011-12-23 14:00
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